均值不等式中的一则题目$\scriptsize\text{$(a+\cfrac{1}{a})^2+(b+\cfrac{1}{b})^2\ge \cfrac{25}{2}$}$

例题已知正数$a、b$满足条件$a+b=1$，求$(a+\cfrac{1}{a})^2+(b+\cfrac{1}{b})^2$的最小值；

易错方法$(a+\cfrac{1}{a})^2+(b+\cfrac{1}{b})^2$

$=a^2+\cfrac{1}{a^2}+b^2+\cfrac{1}{b^2}+4$

$\ge 2\sqrt{a^2\cdot \cfrac{1}{a^2}}+2\sqrt{b^2\cdot \cfrac{1}{b^2}}+4=8$

这个解法的错误在于，没有验证等号成立的条件是否具备。

上述等号要成立，需要$a^2=\cfrac{1}{a^2}$且$b^2=\cfrac{1}{b^2}$

即$a=1$且$b=1$成立，其实这是不可能的，原因是$a+b=1$；

这个错误产生的原因是走入了均值不等式使用的思维定式，

其实要想防止其发生，只要每使用一次均值不等式，就自觉的验证“正定等”即可，

尤其是等号的成立条件。

法1函数法，当题目给出$a>0，b>0$，以及$a+b=1$时，

我们能利用均值不等式得到整体变量$ab$的取值范围。

由$1=a+b\ge 2\sqrt{ab}$，故$\sqrt{ab}\leq \cfrac{1}{2}$，又$ab>0$

故$0<ab\leq \cfrac{1}{4}$；

$(a+\cfrac{1}{a})^2+(b+\cfrac{1}{b})^2$

$=a^2+b^2+\cfrac{1}{a^2}+\cfrac{1}{b^2}+4$

$=(a+b)^2-2ab+\cfrac{a^2+b^2}{a^2b^2}+4$

$=(a+b)^2-2ab+\cfrac{(a+b)^2-2ab}{a^2b^2}+4$

$=1-2ab+\cfrac{1}{a^2b^2}-\cfrac{2}{ab}+4$，

令$ab=x\in (0，\cfrac{1}{4}]$，则上式转化为

$g(x)=1-2x+\cfrac{1}{x^2}-\cfrac{2}{x}+4$

$g(x)=5-2x+\cfrac{1}{x^2}-\cfrac{2}{x}$，

$g'(x)=-2-\cfrac{2}{x^3}+\cfrac{2}{x^2}$

$=\cfrac{-2}{x^3}(x^3-x+1)$，

再令$h(x)=x^3-x+1$，

则$h'(x)=3x^2-1$，当$x\in(0，\cfrac{1}{4}]$时，$h'(x)<0$，

故函数$h(x)$在区间$x\in(0，\cfrac{1}{4}]$单调递减，

$h(x)\ge h(\cfrac{1}{4})>0$，

故$g'(x)<0$，即函数$g(x)$在区间$x\in(0，\cfrac{1}{4}]$单调递减，

故$g(x)_{min}=g(\cfrac{1}{4})=\cfrac{25}{2}$。

法2不等式+对勾函数

由$P=(a+\cfrac{1}{a})^2+(b+\cfrac{1}{b})^2$

$=a^2+\cfrac{1}{a^2}+b^2+\cfrac{1}{b^2}+4$

$\ge 2ab+\cfrac{2}{ab}+4$(当且仅当$a=b=\cfrac{1}{2}$时取到等号)

令$ab=x$，则$x\in (0，\cfrac{1}{4}]$，

$g(x)=2x+\cfrac{2}{x}+4=2(x+\cfrac{1}{x})+4$，

由$g(x)$在$(0，\cfrac{1}{4}]$上单调递减，可知

$g(x)_{min}=g(\cfrac{1}{4})=\cfrac{25}{2}$，

即$ab=\cfrac{1}{4}$时，也即$a=b=\cfrac{1}{2}$时$P_{min}=\cfrac{25}{2}$。

法3$(a+\cfrac{1}{a})^2+(b+\cfrac{1}{b})^2$

$=a^2+\cfrac{1}{a^2}+b^2+\cfrac{1}{b^2}+4$

$=a^2+b^2+\cfrac{a^2+b^2}{a^2b^2}+4$

$=(a^2+b^2)(1+\cfrac{1}{a^2b^2})+4$

$=(1-2ab)(1+\cfrac{1}{a^2b^2})+4$

由法1可知$0<ab\leq \cfrac{1}{4}$，则

$\cfrac{1}{2}\leq 1-2ab<1$，$1+\cfrac{1}{a^2b^2}\ge 17$

故$(1-2ab)(1+\cfrac{1}{a^2b^2})\ge \cfrac{17}{2}$，

故$(1-2ab)(1+\cfrac{1}{a^2b^2})+4\ge \cfrac{25}{2}$

法4依据$2(a^2+b^2)\ge (a+b)^2$求解；

由(1)可知，$\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}\ge 4$，

则$(a+\cfrac{1}{a})^2+(b+\cfrac{1}{b})^2$

$\ge \cfrac{[(a+\cfrac{1}{a})+(b+\cfrac{1}{b})]^2}{2}$

$= \cfrac{[(a+b)+(\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b})]^2}{2}$

$\ge \cfrac{5^2}{2}=\cfrac{25}{2}$，

当且仅当$a=b=\cfrac{1}{2}$时取到等号。

法5$(a+\cfrac{1}{a})^2+(b+\cfrac{1}{b})^2$

$=a^2+b^2+\cfrac{1}{a^2}+\cfrac{1}{b^2}+4$

因为$a^2+b^2\ge 2ab$，两边同加$a^2+b^2$，

所以$2(a^2+b^2)\ge (a+b)^2=1$，

即$a^2+b^2\ge \cfrac{1}{2}$

当$a=b=\cfrac{1}{2}$时，上述等号成立

又$\cfrac{1}{a^2}+\cfrac{1}{b^2}=\cfrac{a^2+b^2}{a^2b^2} \ge \cfrac{2ab}{a^2b^2}$

$\ge \cfrac{2}{ab}\ge \cfrac{2}{(\frac{a+b}{2})^2}=8$

当$a=b=\cfrac{1}{2}$时，上述等号成立

所以$(a+\cfrac{1}{a})^2+(b+\cfrac{1}{b})^2≥\cfrac{1}{2}+8+4=\cfrac{25}{2}$

当$a=b=\cfrac{1}{2}$时，上述等号成立

法6利用$a^2+b^2\ge \cfrac{(a+b)^2}{2}$以及$\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}\ge 4$作证明，

$(a+\cfrac{1}{a})^2+(b+\cfrac{1}{b})^2$

$=a^2+b^2+(\cfrac{1}{a})^2+(\cfrac{1}{b})^2+4$

$\ge \cfrac{(a+b)^2}{2}+\cfrac{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^2}{2}+4$

$\ge \cfrac{1}{2}+\cfrac{4^2}{2}+4=\cfrac{25}{2}$

当$a=b=\cfrac{1}{2}$时，上述等号成立；

法7利用柯西不等式

柯西不等式：$(a^2+b^2)(c^2+d^2)\ge (ac+bd)^2$，

$a,b,c,d\in R$，当且仅当$\cfrac{a}{c}=\cfrac{b}{d}$时取到等号；

由已知条件$(a+\cfrac{1}{a})^2+(b+\cfrac{1}{b})^2$构造，

$(1^2+1^2)(a+\cfrac{1}{a})^2+(b+\cfrac{1}{b})^2$

$\ge (1\cdot (a+\cfrac{1}{a})+1\cdot (b+\cfrac{1}{b}))^2$

$=(a+b+\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b})^2$

$=(1+1+\cfrac{b}{a}+1+\cfrac{a}{b})^2$

$\ge (3+2)^2=25$，

当且仅当$a+\cfrac{1}{a}=b+\cfrac{1}{b}$，$a=b$，$a+b=1$，

即当且仅当$a=b=\cfrac{1}{2}$时取到等号；

即$(a+\cfrac{1}{a})^2+(b+\cfrac{1}{b})^2≥\cfrac{25}{2}$

当且仅当$a=b=\cfrac{1}{2}$时取到等号；

法8利用琴生不等式，

构造$f(x)=(x+\cfrac{1}{x})^2(x>0)$，容易知道$f(x)$下凹，函数的凹凸性

则有$\cfrac{f(a)+f(b)}{2}\ge f(\cfrac{a+b}{2})$，

即$f(a)+f(b)\ge 2 f(\cfrac{a+b}{2})$，

即$(a+\cfrac{1}{a})^2+(b+\cfrac{1}{b})^2≥2\cdot \cfrac{25}{4}=\cfrac{25}{2}$，

当且仅当$a=b=\cfrac{1}{2}$时取到等号；

法9利用$a^2+b^2\ge \cfrac{(a+b)^2}{2}$以及$ab\leq \cfrac{1}{4}$作证明，

$(a+\cfrac{1}{a})^2+(b+\cfrac{1}{b})^2$

$\ge \cfrac{[(a+\cfrac{1}{a})+(b+\cfrac{1}{b})]^2}{2}$

$=\cfrac{(1+\cfrac{1}{ab})^2}{2}$

$\ge \cfrac{(1+4)^2}{2}=\cfrac{25}{2}$

当$a=b=\cfrac{1}{2}$时，上述等号成立；

其他相关

例1已知$a>0$，$b>0$，$a+b=1$，

求证：(1).$\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}+\cfrac{1}{ab}\ge 8$

(2).$(1+\cfrac{1}{a})(1+\cfrac{1}{b})\ge 9$

分析：(1).$\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}+\cfrac{1}{ab}=2(\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b})$

$=2(\cfrac{a+b}{a}+\cfrac{a+b}{b})$

$=2(2+\cfrac{a}{b}+\cfrac{b}{a})\ge 2(2+2\sqrt{1})=8$,

当且仅当$\begin{cases}a+b=1\\ a=b\end{cases}$时，即$a=b=\cfrac{1}{2}$时取等号。

法2：$\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}+\cfrac{1}{ab}=\cfrac{2}{ab}$

由$1=a+b\ge 2\sqrt{ab}$得到$0<\sqrt{ab}\leq \cfrac{1}{2}$

故$0<ab\leq \cfrac{1}{4}$，故$\cfrac{1}{ab}\ge 4$，故$\cfrac{2}{ab}\ge 8$，

当且仅当$a=b=\cfrac{1}{2} $时取到等号。

(2).$(1+\cfrac{1}{a})(1+\cfrac{1}{b})$

$=(1+\cfrac{a+b}{a})(1+\cfrac{a+b}{b})$

$=(2+\cfrac{b}{a})(2+\cfrac{a}{b})$

$=5+2(\cfrac{b}{a}+\cfrac{a}{b})$

$\ge 5+2\cdot2=9$

当且仅当$a=b=\cfrac{1}{2} $时取到等号。

例2已知正数$a、b$满足条件$a+b=1$，

(1)求证：$0<ab\leq \cfrac{1}{4}$；

分析：由$1=a+b\ge 2\sqrt{ab}$，故$\sqrt{ab}\leq \cfrac{1}{2}$，

又$ab>0$，故$0<ab\leq \cfrac{1}{4}$；

当且仅当$a=b=\cfrac{1}{2} $时取到等号。

(2)求证：$\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}\ge 4$

法1：$\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}=(\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b})(a+b)$

$=2+\cfrac{b}{a}+\cfrac{a}{b}\ge 2+2=4$

当且仅当$a=b=\cfrac{1}{2} $时取到等号。

法2：$\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}=\cfrac{a+b}{a}+\cfrac{a+b}{b}$

$=2+\cfrac{b}{a}+\cfrac{a}{b}\ge 2+2=4$

当且仅当$a=b=\cfrac{1}{2} $时取到等号。

巴特西

均值不等式中的一则题目$\scriptsize\text{$(a+\cfrac{1}{a})^2+(b+\cfrac{1}{b})^2\ge \cfrac{25}{2}$}$

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