【线性代数】2-6:三角矩阵( $A=LU$ and $A=LDU$ )
title: 【线性代数】2-6:三角矩阵( A=LUA=LUA=LU and A=LDUA=LDUA=LDU )
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categories:
- Mathematic
- Linear Algebra
date: 2017-09-12 15:41:12
keywords: - A=LU
- A=LDU
- Factorization
Abstract: 如何将矩阵分解成三角矩阵
Keywords: A=LU,A=LDU,Factorization
开篇废话
今晚苹果要新版本iPhone了,不知不觉iPhone已经十年了,然而我只用过iPhone4和6,技术的不断创新,给人们带来了方便,也改变了产业结构和生活方式,这应该与自然的变迁类似,无法阻挡的历史潮流,人类一切的进步都源自于对未知事物的探索,希望各位继续努力,为人类的进步,为人类与自然的和谐相处努力。
Factorization
因式分解,开始学的时候肯定是分解多项式,将一串长的式子分解成几个因式相乘的形式,矩阵也可以,把一个矩阵分解成几个矩阵相乘的形式,但是问题来了,从表述上看,多项式分解的结果是整体变得简单了,但是矩阵分解好像越分越多啊,是多了,但是多出来这些矩阵都很有特点,他们的形状固定,大部分元素是0.
回想一下消元的过程
A to U
E21A=[10−31][2168]=[2105]=U
E_{21}A=
\begin{bmatrix}1&0\newline -3&1\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}2&1\newline 6&8\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}2&1\newline 0&5\end{bmatrix}=U
E21A=[10−31][2168]=[2105]=U
U to A
E21−1U=[1031]=[2105]=[2168]=AU
E_{21}^{-1}U=
\begin{bmatrix}1&0\newline 3&1\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}2&1\newline 0&5\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}2&1\newline 6&8\end{bmatrix}=A
U
E21−1U=[1031]=[2105]=[2168]=AU
从U到A的过程就是我们今天的男一号,A=LUA=LUA=LU
消元的解释说明
1:E−1E^{-1}E−1 都是lower triangular 下三角矩阵,对角线元素全部为1
2:E−1E^{-1}E−1 就是LLL,把U变回A的系数矩阵
3:每个消元系数lijl_{ij}lij 只会把对应的(i,j)位置的元素干掉,不会影响其他位置,尤其是已经完成消元的位置
A=LUA=LUA=LU
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