【数学】【CF1091D】 New Year and the Permutation Concatenation

Description

给定一个数 $n$，将所有 $1~\sim~n$ 的排列按照字典序放到一个序列中，求有多少长度为 $n$ 的子序列 $p_i~p_{i+1}~\dots~p_{i + n - 1}$ 满足 $\sum_{u = i}^{i + n - 1}~p_u~=~\frac{n~\times~(n - 1)}{2}$ 答案对 $998244353$ 取模

Input

一行一个整数代表 $n$

Output

一行一个整数代表答案对 $998244353$ 取模的结果

Hint

$1~\leq~n~\leq~10^6$

Solution

做法有很多呐……

对于一个合法的序列，显然其中 $1~\sim~n$ 每个元素都出现了一次。可以使用反证法或按照 $n$ 进行数学归纳证明

那么对于一个合法的序列 $q$，一共只有两种情况：

1、它是由一段完整的排列构成的

2、它是由前面一段排列的后 $k$ 位和后面一段排列的前 $n - k$ 位拼成的。

情况一显然有 $n!$ 种，于是我们只考虑情况二的答案

考虑求 next_permutation 的算法：找出原排列中最长的单调降序后缀，记长度为 $k$，然后在后缀中找最小的大于原排列第 $(n - k - 1)$ 位的值，将这两个位置交换。然后将新的后缀按照升序排序（因为原先是降序的，所以这个操作等价于进行reverse）

考虑两个相邻的排列，在前面排列中选 $k$ 个，后面选 $n - k$ 的情况，若这种情况合法，则后面一个排列的前 $n - k $ 位与前面一个排列的前 $n - k$ 位是相同的，即这一段没有发生交换。所以他的后缀的长度 $len$ 必须满足 $len~<~k$。

我们考虑用总方案数减去不合法的方案数：考虑我们对一个排列固定一个选择的数的个数 $k$，那么它不合法当且仅当整个后缀是单调降序，前面怎么排无所谓，于是这样的排列共有 $A_n^{n - k}~=~\frac{n!}{k!}$ 个。这些排列在选后面 $k$ 个作为选出子序列的前缀时全部是不合法的。考虑我们这样等价于枚举选择前一个排列的 $k$ 的位置，而总共有 $n~\times~n!$ 个数字，于是这样的位置一共有 $n~\times~n!$ 种，即方案有这么多种，减去不合法的方案数即为

\[n~\times~n!~-~\sum_{k = 1}^{n - 1} \frac{n!}{k!}
\]

以上是官方题解

第二种做法与第一种类似，同样依据上面的结论。不过是直接计算方案数。考虑我们如果选择一个排列的后 $k$ 个位置，我们设这个排列的后 $k$ 位是单调递增的，则对前面选择没影响的是后 $(n - k)!$ 次排列，因为这几次排列是将后面 $k$ 位从升序排列到降序，对前面没有影响。

考虑直接枚举 $k$，前面怎么选无所谓，方案数 $A_n^k$，后面共有 $(n - k)!$ 种排列。后面这些排列共有 $(n - k)! - 1$ 对，即这么多贡献。于是直接枚举统计答案即可。

以上参考 @DDOSvoid 神仙的做法

第三种做法直接打表找规律，设 $f_i$ 为输入为 $i$ 的答案，则

\[f_i~=~(f_{i - 1}~+~(n - 1)!~-~1)~\times~n
\]

天知道他们是怎么看出规律的

Code

代码依据官方题解算法写成

#include <cstdio>

#ifdef ONLINE_JUDGE

#define freopen(a, b, c)

#endif

#define rg register

#define ci const int

#define cl const long long

typedef long long int ll;

namespace IPT {

	const int L = 1000000;

	char buf[L], *front=buf, *end=buf;

	char GetChar() {

		if (front == end) {

			end = buf + fread(front = buf, 1, L, stdin);

			if (front == end) return -1;

		}

		return *(front++);

	}

}

template <typename T>

inline void qr(T &x) {

	rg char ch = IPT::GetChar(), lst = ' ';

	while ((ch > '9') || (ch < '0')) lst = ch, ch=IPT::GetChar();

	while ((ch >= '0') && (ch <= '9')) x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48), ch = IPT::GetChar();

	if (lst == '-') x = -x;

}

template <typename T>

inline void ReadDb(T &x) {

	rg char ch = IPT::GetChar(), lst = ' ';

	while ((ch > '9') || (ch < '0')) lst = ch, ch = IPT::GetChar();

	while ((ch >= '0') && (ch <= '9')) x = x * 10 + (ch ^ 48), ch = IPT::GetChar();

	if (ch == '.') {

		ch = IPT::GetChar();

		double base = 1;

		while ((ch >= '0') && (ch <= '9')) x += (ch ^ 48) * ((base *= 0.1)), ch = IPT::GetChar();

	}

	if (lst == '-') x = -x;

}

namespace OPT {

	char buf[120];

}

template <typename T>

inline void qw(T x, const char aft, const bool pt) {

	if (x < 0) {x = -x, putchar('-');}

	rg int top=0;

	do {OPT::buf[++top] = x % 10 + '0';} while (x /= 10);

	while (top) putchar(OPT::buf[top--]);

	if (pt) putchar(aft);

}

const int maxn = 1000010;

const int MOD = 998244353;

int n, ans;

int inv[maxn], fac[maxn], fac_inv[maxn];

void Get_Inv(ci);

int main() {

	freopen("1.in", "r", stdin);

	qr(n);

	Get_Inv(n);

	fac[1] = 1;

	for (rg int i = 2; i <= n; ++i) fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % MOD;

	ans = 1ll * n * fac[n] % MOD;

	for (rg int i = 1; i < n; ++i) {

		ans = (ans - 1ll * fac[n] * fac_inv[i] % MOD) % MOD;

	}

	qw((ans + MOD) % MOD, '\n', true);

	return 0;

}

void Get_Inv(ci x) {

	inv[1] = 1;fac_inv[1] = 1;

	for (rg int i = 2; i <= x; ++i) fac_inv[i] = 1ll * fac_inv[i - 1] * (inv[i] = (1ll * - (MOD / i) * inv[MOD % i]) % MOD) % MOD;

}

巴特西