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辗转相除法

辗转相除法：辗转相除法是求两个自然数的最大公约数的一种方法，也叫欧几里德算法。

例如，求（，）：

∵ ÷=（余319）

∴（，）=（，）；

∵ ÷=（余58）

∴（，）=（，）；

∵ ÷=（余29）

∴ （，）=（，）；

∵ ÷=（余0）

∴ （，）= ；

∴ （，）=。

用辗转相除法求几个数的最大公约数，可以先求出其中任意两个数的最大公约数，再求这个最大公约数与第三个数的最大公约数，依次求下去，直到最后一个数为止。最后所得的那个最大公约数，就是所有这些数的最大公约数。

更相减损法

更相减损法：也叫更相减损术

第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。

第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。

则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。

其中所说的“等数”，就是最大公约数。求“等数”的办法是“更相减损”法。所以更相减损法也叫等值算法。

例1．用更相减损术求98与63的最大公约数。

解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减：

-=

-=

-=

-=

-=

-=

所以，98和63的最大公约数等于7。

这个过程可以简单的写为：

（，）=（，）=（，）=（，）=（，）=（，）=（，）=.

例2．用更相减损术求260和104的最大公约数。

解：由于260和104均为偶数，首先用2约简得到130和52，再用2约简得到65和26。

此时65是奇数而26不是奇数，故把65和26辗转相减：

-=

-=

-=

所以，260与104的最大公约数等于13乘以第一步中约掉的两个2，即13**=。

这个过程可以简单地写为：

（,）(//) =>（,）=（,）=（,）=（,）=. (**) =>  []

比较：

比较辗转相除法与更相减损术的区别

（1）都是求最大公因数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。

（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到

代码实现

一：最简单方法

#include <stdio.h>

#include <stdlib.h>

int main()

{

    int m, n,temp,i;

    scanf("%d", &m);

    scanf("%d", &n);

    if (m>n)

    {

        temp = m;

        m = n;

        n = temp;

    }

    for (i = m; i >= ;i--)

        if (m%i== && n%i==)

            break;

    printf("%d\n", i);

    system("pause");

    return ;

}

二：辗转相除法（递归）

#include <stdio.h>

#include <stdlib.h>

int gcd(int a, int b)

{

    int mod;

    if ((mod = a % b) == 0)

        return b;

    return gcd(b, mod);

}

int main()

{

    int m, n,ret;

    scanf("%d", &m);

    scanf("%d", &n);

    ret = gcd(m, n);

    printf("%d", ret);

    system("pause");

    return ;

}

三：辗转相除法（非递归）

int gcd(int a, int b)

{

    int mod=a % b;

    while (mod!=)

    {

        a = b;

        b = mod;

        mod = a % b;

    }

    return b;

}

四：更相减损法（非递归）

#include <stdio.h>

#include <stdlib.h>

#include <math.h>

int gcd(int a, int b)

{

    int val= a - b;

    while (val != b)

    {

        if (b>val)

        {

            a = b;

            b = val;

        }

        else

        {

            a = val;

        }

        val = a - b;

    }

    return val;

}

int main()

{

    int m, n,ret,temp,count=;

    scanf("%d", &m);

    scanf("%d", &n);

    if (m == n)

    {

        printf("%d", m);

        return ;

    }

    if (m < n)

    {

        temp = m;

        m = n;

        n = temp;

    }

    while (m% ==  && n% == )

    {

        count++;

        m /= ;

        n /= ;

    }

    ret = gcd(m, n);

    printf("%d", ret*((int)pow(,count)));　　//使用pow需要进行(int)转换，不然会报错

    system("pause");

    return ;

}

巴特西

C语言复习---获取最大公约数（辗转相除法和更相减损法）