「AGC020F」 Arcs on a Circle
2024-10-19 04:22:49
「AGC020F」 Arcs on a Circle
这个题非常 Amazing 啊。果然AtCoder全是智商题
首先你可以注意到数据范围真的是小得离谱,让你想要爆搜。
然后你发现不可做,那考虑状压。
首先你发现这是一个环很烦,所以我们随便找一个端点断环为链。
问题转换为求能覆盖整个圆的不同的覆盖方式。
但是显然这样的方案有无数种,我们需要考虑优化。
注意到两段圆弧是否相交,仅与它们的起始位置的整数部分的值和小数部分有关。更进一步地,他们小数部分的相对大小决定了其是否相交。
若有 \(p_i\le p_j\),则两圆弧相交 \(\iff p_i+l_i\ge p_j\)。
拆分为整数和小数部分,有 \([p_i]+\{p_i\}+l_i\ge [p_j]+\{p_j\}\)。
若 \([p_i]+l_i\neq [p_j]\),则小数部分无影响。
若 \([p_i]+l_i= [p_j]\),则 \([p_i]+\{p_i\}+l_i\ge [p_j]+\{p_j\}\iff \{p_i\}\ge \{p_j\}\)。
不妨设相对位置互不相同。
于是我们可以考虑枚举所有圆弧小数部分的相对位置,然后状压DP即可。
/*---Author:HenryHuang---*/
/*---Never Settle---*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int s;
int a[10],tot;
long long ans;
int n,c;
int f[50][500];
int solve(){
memset(f,0,sizeof f); f[0][a[n]*(n+1)]=1;
for(int i=1;i<(n+1)*c;++i){
if(i%(n+1)){
int t=i%(n+1)-1,len=min(i+(n+1)*a[t],(n+1)*c);
for(int j=0;j<=s;++j){
if((j&(1<<t))==0){
for(int k=i;k<=(n+1)*c;++k)
f[j|(1<<t)][max(k,len)]+=f[j][k];
}
}
}
}
return f[s][(n+1)*c];
}
int main(){
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0),cout.tie(0);
cin>>n>>c;
s=(1<<(n-1))-1;--n;
for(int i=0;i<=n;++i) cin>>a[i];
sort(a,a+n+1);
do{
ans+=solve();
++tot;
}while(next_permutation(a,a+n));
cout<<setprecision(14)<<fixed<<(long double)ans/tot/pow(c,n)<<'\n';
return 0;
}
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