1223. 掷骰子模拟 (Hard)

问题描述

有一个骰子模拟器会每次投掷的时候生成一个 1 到 6 的随机数。

不过我们在使用它时有个约束，就是使得投掷骰子时，连续掷出数字 i 的次数不能超过

rollMax[i]（ i 从 1 开始编号）。

现在，给你一个整数数组 rollMax 和一个整数 n，请你来计算掷 n 次骰子可得到的不同点数序列的数量。

假如两个序列中至少存在一个元素不同，就认为这两个序列是不同的。由于答案可能很大，所以请返回 模 10^9 + 7 之后的结果。

示例 1：

输入：n = 2, rollMax = [1,1,2,2,2,3]

输出：34

解释：我们掷 2 次骰子，如果没有约束的话，共有 6 * 6 = 36 种可能的组合。但是根据 rollMax

数组，数字 1 和 2 最多连续出现一次，所以不会出现序列 (1,1) 和 (2,2)。因此，最终答案是 36-2 =

34。

示例 2：

输入：n = 2, rollMax = [1,1,1,1,1,1]

输出：30

示例 3：

输入：n = 3, rollMax = [1,1,1,2,2,3]

输出：181

提示：

1 <= n <= 5000
rollMax.length == 6
1 <= rollMax[i] <= 15

解题思路

动态规划

这一题是很明显的动态规划思路，状态定义很好想，状态转移方程也不难确定：

记dp[i][j]为掷i次骰子，最后一次结果为j + 1的可能的组合，要求的答案即dp[n][0] + ... + dp[n][5]，显然，我们只需排除最后rollMax[j] + 1次都是j的情况；

状态转移方程为：

if i <= rollMax[j]: \(dp[i][j] = \sum\limits_{k = 0}^{5} dp[i - 1][k]\)

else if i == rollMax[j] + 1: \(dp[i][j] = \sum\limits_{k = 0}^{5} dp[i - 1][k] - 1\)

else: \(dp[i][j] = \sum\limits_{k = 0}^{5}dp[i - 1][k] - \sum\limits_{k = 0, k\neq j}^{5}dp[i - rollMax[j] - 1][j]\)

记忆化搜索

这里我们从第n次向第一次倒着考虑，那么我们要关注的几个变量：

当前投掷骰子的次数idx；
当前投掷的骰子数字减一，记为last_num；
当前数字往后的最大连续数量，记为max_len，例如\(623166\)，考虑idx = 5，那么最大连续数量就是\(2\)，这里的max_len要分等于rollMax[last_num]和小于rollMax[last_num]的情况来讨论，小于则可以继续选last_num，内层递归的max_len为max_len + 1；否则必须选其他的数，同时内层递归的max_len置1；

当前递归的结果应该取下一层递归的结果之和；

边界条件，当idx == 0时，应该return 1;

cache数组的三个维度即idx，last_num，max_len，其中max_len <= 15，所以cache数组为vector<vector<vector<long>>> cache(n + 1, vector<vector<long>>(16, vector<long>(6, -1)));

代码

动态规划

class Solution {

  public:

    int dieSimulator(int n, vector<int> &rollMax) {

        int mod = 1000000007;

        if (n == 1) return 6;

        vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(6, 0));

        for (int i = 0; i < 6; i++) {

            dp[0][i] = 1;

            dp[1][i] = 1;

        }

        for (int i = 2; i <= n; i++) {

            for (int j = 0; j < 6; j++) {

                if (i <= rollMax[j]) {

                    dp[i][j] = (dp[i - 1][0] + dp[i - 1][1] + dp[i - 1][2] + dp[i - 1][3] + dp[i - 1][4] + dp[i - 1][5]) % mod;

                } else if (i == rollMax[j] + 1) {

                    int tmp_sum = 0;

                    for (int k = 0; k < 6; k++) {

                        tmp_sum = (tmp_sum + dp[i - 1][k]) % mod;

                    }

                    dp[i][j] = (tmp_sum - 1) % mod;

                } else {

                    int tmp_sum = 0;

                    int tmp_minus = 0;

                    for (int k = 0; k < 6; k++) {

                        tmp_sum = (tmp_sum + dp[i - 1][k]) % mod;

                        if (k == j) {

                            continue;

                        }

                        tmp_minus = (tmp_minus + dp[i - rollMax[j] - 1][k]) % mod;

                    }

                    dp[i][j] = (tmp_sum - tmp_minus + mod) % mod;

                }

            }

        }

        int res = 0;

        for (int j = 0; j < 6; j++) {

            res = (res + dp[n][j]) % mod;

        }

        return res;

    }

};

记忆化搜索

class Solution {

  public:

    long dfs(int idx, vector<int> &rollMax, int max_len, int last_num, vector<vector<vector<long>>> &cache, int mod) {

        if (idx == 0) {

            return 1;

        }

        if (cache[idx][max_len][last_num] >= 0) {

            return cache[idx][max_len][last_num] % mod;

        }

        long res = 0;

        if (max_len < rollMax[last_num]) {

            for (int i = 0; i < 6; ++i) {

                if (i == last_num) {

                    res += dfs(idx - 1, rollMax, max_len + 1, i, cache, mod);

                    res %= mod;

                } else {

                    res += dfs(idx - 1, rollMax, 1, i, cache, mod);

                    res %= mod;

                }

            }

        } else {

            for (int i = 0; i < 6; ++i) {

                if (i != last_num) {

                    res += dfs(idx - 1, rollMax, 1, i, cache, mod);

                    res %= mod;

                }

            }

        }

        cache[idx][max_len][last_num] = res % mod;

        return cache[idx][max_len][last_num];

    }

    int dieSimulator(int n, vector<int> &rollMax) {

        // 尝试记忆化搜索

        vector<vector<vector<long>>> cache(n + 1, vector<vector<long>>(16, vector<long>(6, -1)));

        int mod = 1000000007;

        return dfs(n, rollMax, 0, 6, cache, mod);

    }

};

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记忆化搜索

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