【HDU 1588】 Gauss Fibonacci

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【算法】

要求

f(g(0)) + f(g(1)) + f(g(2)) + ... + f(g(n-1))

因为g(i) = k * i + b

所以原式 = f(b) + f(k+b) + f(2k+b) + .... + f((n-1)k+b)

令矩阵A = {1,1,0,1}（求斐波那契数的矩阵）

那么，式子就可以写成A^b + A^(k + b) + A ^ (2k + b) + .... + A ^ ((n - 1)k + b)

因为矩阵符合乘法分配律，所以可以将A^b提出，式子被写成 :

A ^ b( E + A ^ k + A ^ 2k + ... + A ^ (n - 1)k ) (其中E为2阶单位阵）

令矩阵S = A ^ k

那么式子就被进一步化简为： A^b( S^0 + S^1 + S^2 + .. + S^(n-1) )

A^b可以通过矩阵乘法快速幂求出

而后面的S^0 + S^1 + S ^ 2 + ... S^(n-1)则可以通过二分求解（也就是POJ 3233的方法）

【代码】

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

int n,b,k,m;

struct Matrix

{

        long long mat[][];

} A,E,ans,s;

inline Matrix mul(Matrix a,Matrix b)

{

        int i,j,k;

        Matrix ans;

        memset(ans.mat,,sizeof(ans.mat));

        for (i = ; i <= ; i++)

        {

                for (j = ; j <= ; j++)

                {

                        for (k = ; k <= ; k++)

                        {

                                ans.mat[i][j] = (ans.mat[i][j] + a.mat[i][k] * b.mat[k][j]) % m;

                        }

                }

        }

        return ans;

}

inline Matrix add(Matrix a,Matrix b)

{

        int i,j;

        Matrix ans;

        memset(ans.mat,,sizeof(ans.mat));

        for (i = ; i <= ; i++)

        {

                for (j = ; j <= ; j++)

                {

                        ans.mat[i][j] = (a.mat[i][j] + b.mat[i][j]) % m;

                }

        }

        return ans;

}

inline Matrix power(Matrix a,int n)

{

        int i,j;

        Matrix ans,p = a;

        for (i = ; i <= ; i++)

        {

                for (j = ; j <= ; j++)

                {

                        ans.mat[i][j] = (i == j);

                }

        }

        while (n > )

        {

                if (n & ) ans = mul(ans,p);

                p = mul(p,p);

                n >>= ;

        }

        return ans;

}

inline Matrix solve(Matrix a,int n)

{

        Matrix tmp;

        if (n == ) return a;

        if (n %  == ) return add(solve(a,n-),power(a,n));

        else

        {

                tmp = solve(a,n/);

                return add(tmp,mul(power(a,n/),tmp));

        }

}

int main() {

        E.mat[][] = ; E.mat[][] = ;

        E.mat[][] = E.mat[][] = ;

        while (scanf("%d%d%d%d",&k,&b,&n,&m) != EOF)

        {

                A.mat[][] = A.mat[][] = A.mat[][] = ;

                A.mat[][] = ;

                s = power(A,k);

                ans = mul(power(A,b),add(E,solve(s,n-)));

                printf("%lld\n",ans.mat[][]);

        }

        return ;

}

巴特西

【HDU 1588】 Gauss Fibonacci

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