BZOJ_4591_[Shoi2015]超能粒子炮·改_Lucas定理
2024-09-02 05:35:30
BZOJ_4591_[Shoi2015]超能粒子炮·改_Lucas定理
Description
曾经发明了脑洞治疗仪&超能粒子炮的发明家SHTSC又公开了他的新发明:超能粒子炮·改--一种可以发射威力更加
强大的粒子流的神秘装置。超能粒子炮·改相比超能粒子炮,在威力上有了本质的提升。它有三个参数n,k。它会
向编号为0到k的位置发射威力为C(n,k) mod 2333的粒子流。现在SHTSC给出了他的超能粒子炮·改的参数,让你求
其发射的粒子流的威力之和模2333。
Input
第一行一个整数t。表示数据组数。
之后t行,每行二个整数n,k。含义如题面描述。
k<=n<=10^18,t<=10^5
Output
t行每行一个整数,表示其粒子流的威力之和模2333的值。
Sample Input
1
5 5
5 5
Sample Output
32
$f(n,k)=\sum\limits_{i=0}^{k}C(n,i)$
$=\sum\limits_{i=0}^{k} C(n$%$p,i$%$p)\times C(n/p,i/p)$
设$a=\lfloor k/p \rfloor ,b=k$%$p$
$=\sum\limits_{i=0}^{ap-1}C(n$%$p,i$%$p)\times C(n/p,i/p)+\sum\limits_{i=ap}^{ap+b}C(n$%$p,i$%$p)\times C(n/p,i/p)$
$=\sum\limits_{i=0}^{p-1}C(n$%$p,i)\times \sum\limits_{i=0}^{a-1}C(n/p,i)+C(n/p,a)\times \sum\limits_{i=0}^{b}C(n$%$p,b)$
$=f(n$%$p,p-1)* f(n/p,a-1)+C(n/p,a)* f(n$%$p,b)$
递归求解即可。
代码:
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define N 2550
typedef long long ll;
const int mod=2333;
int c[N][N],f[N][N];
void init() {
int i,j;
for(i=0;i<=mod;i++) c[i][0]=f[i][0]=1;
for(i=0;i<=mod;i++) {
for(j=1;j<=i;j++) {
c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mod;
f[i][j]=(f[i][j-1]+c[i][j])%mod;
}
for(j=i+1;j<=mod;j++) f[i][j]=f[i][j-1];
}
}
int Lucas(ll n,ll m) {
if(n<m) return 0;
if(n<mod&&m<mod) return c[n][m];
return Lucas(n/mod,m/mod)*Lucas(n%mod,m%mod)%mod;
}
int solve(ll n,ll k) {
ll a=k/mod;int b=k%mod;
if(k<mod) return f[n%mod][k];
return (solve(n%mod,mod-1)*solve(n/mod,a-1)%mod+Lucas(n/mod,a)*solve(n%mod,b)%mod)%mod;
}
int main() {
init();
int T;
scanf("%d",&T);
ll n,k;
while(T--) {
scanf("%lld%lld",&n,&k);
printf("%d\n",solve(n,k));
}
}
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