[USACO2008 Mar]土地购买

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题意：购买一组土地的费用是最长的长乘以最长的宽。现给出n块土地，求购买所有土地（可以将土地分为任意组，不需按顺序）的最小费用

解题思路

动态规划+斜率优化

斜率优化在这道题里并不难，关键是第一步的方程以及思想

由于买一组土地的关键是最大的长和宽，所以设任意两块土地$x, y$，若$w[x] \leq w[y] 且 l[x] \leq l[y]$，那么我们可以把$x, y$放在一组里，这样x存不存在都一样。因此x就可以扔掉不管了。所以第一步我们可以把所有没用的都扔掉。

那么怎么扔呢？首先对所有土地以高度为第一关键字，宽度为第二关键字从小到大排序。直接利用单调栈踢出所有没用的土地——然后让每一块土地依次进栈，由于高度是单调递增的，那么如果当前土地的宽度 $\geq$ 栈顶的宽度，也就意味着栈顶那块就没用了，因此可以pop

这样做有什么好处？令$f[i]$表示购买前i块土地的费用，枚举断点j，得状态转移方程$$f[i] = f[j] + h[i] * w[j+1]$$由于现在栈内已经单调，根据递增与递减的性质，就可以O(1)求得这一区间土地长宽的最大最小值了

然后就可以做斜率优化的DP了。

Code

long long

坑点挺多的，调了一上午。先是x坐标移项之后是负的，并且栈溢出要判断，不然top减成负数了。

/*By QiXingzhi*/

#include <cstdio>

#include <queue>

#include <cstring>

#include <algorithm>

#define  r  read()

#define  Max(a,b)  (((a)>(b)) ? (a) : (b))

#define  Min(a,b)  (((a)<(b)) ? (a) : (b))

using namespace std;

typedef long long ll;

#define int long long

const int MAXN = ;

const int INF = ;

inline int read(){

    int x = ; int w = ; register int c = getchar();

    while(c ^ '-' && (c < '' || c > '')) c = getchar();

    if(c == '-') w = -, c = getchar();

    while(c >= '' && c <= '') x = (x << ) +(x << ) + c - '', c = getchar();

    return x * w;

}

struct Land{ int w,h; }a[MAXN],A[MAXN];

int n,top,h,t,sta[MAXN],q[MAXN],f[MAXN];

inline bool comp(const Land& a, const Land& b){ return (a.h != b.h) ? a.h < b.h : a.w < b.w; }

inline double X(int i){ return -A[i+].w; }

inline double Y(int i){ return f[i]; }

inline double Slope(int i, int j){ return (double)(Y(i)-Y(j)) / (double)(X(i)-X(j)); }

main(){

    n = r;

    for(int i = ; i <= n; ++i) a[i].w = r, a[i].h = r;

    sort(a+, a+n+, comp);

    sta[++top] = ;

    for(int i = ; i <= n; ++i){

        while(top> && a[i].w >= a[sta[top]].w) --top;

        sta[++top] = i;

    }

    for(int i = ; i <= top; ++i) A[i] = a[sta[i]];

    for(int i = ; i <= top; ++i){

        while(h<t && Slope(q[h],q[h+]) < A[i].h) ++h;

        f[i] = f[q[h]] + A[q[h]+].w * A[i].h;

        while(h<t && Slope(q[t],q[t-]) > Slope(q[t],i)) --t;

        q[++t] = i;

    }

    printf("%lld", f[top]);

    return ;

}

巴特西

[USACO2008 Mar]土地购买

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