hdu 3537 Daizhenyang's Coin（博弈-翻硬币游戏）

题意：每次可以翻动一个、二个或三个硬币。（Mock Turtles游戏）

初始编号从0开始。

当N==1时，硬币为：正，先手必胜，所以sg[0]=1.

当N==2时，硬币为：反正，先手必赢，先手操作后可能为：反反或正反，方案数为2，所以sg[1]=2。

当N==3时，硬币为：反反正，先手必赢，先手操作后可能为：反反反、反正反、正反正、正正反，方案数为4，所以sg[2]=4。

位置x：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14...

sg[x]： 1 2 4 7 8 11
13 14 16 19 21 22 25 26 28…

看上去sg值为2x或者2x+1。我们称一个非负整数为odious，当且仅当该数的二进制形式的1出现的次数是奇数，否则称作evil。所以1，2，4，7是odious因为它们的二进制形式是1,10,100,111.而0,3,5,6是evil，因为它们的二进制形式是0,11,101,110。而上面那个表中，貌似sg值都是odious数。所以当x为odious时，sg值是2x，当x是evil时，sg值是2x+1.

这样怎么证明呢？我们会发现，

evil^evil=odious^odious=evil

evil^odious=odious^evil=odious

假设刚才的假说是成立的，我们想证明下一个sg值为下一个odious数。注意到我们总能够在第x位置翻转硬币到达sg为0的情况；通过翻转第x位置的硬币和两个其它硬币，我们可以移动到所有较小的evil数，因为每个非零的evil数都可以由两个odious数异或得到；但是我们不能移动到下一个odious数，因为任何两个odious数的异或都是evil数。

假设在一个Mock Turtles游戏中的首正硬币位置x1,x2,…,xn是个P局面，即sg[x1]^…^sg[xn]=0.那么无可置疑的是n必定是偶数，因为奇数个odious数的异或是odious数，不可能等于0。而由上面可知sg[x]是2x或者2x+1，sg[x]又是偶数个，那么x1^x2^…^xn=0。相反，如果x1^x2^…^xn=0且n是偶数，那么sg[x1]^…^sg[xn]=0。这个如果不太理解的话，我们可以先这么看下。2x在二进制当中相当于把x全部左移一位，然后补零，比如说2的二进制是10，那么4的二进制就是100。而2x+1在二进制当中相当于把x全部左移一位，然后补1，比如说2的二进制是10，5的二进制是101。现在看下sg[x1]^…^sg[xn]=0，因为sg[x]是2x或者2x+1，所以式子中的2x+1必须是偶数个（因为2x的最后一位都是0,2x+1的最后一位都是1，要最后异或为0,2x+1必须出现偶数次）。实际上的情况可能是这样的:

MT游戏当中的P局面是拥有偶数堆石子的Nim游戏的P局面。

// Time 15ms; Memory 304K

#include<iostream>

#include<algorithm>

using namespace std;

int main()

{

	int n,a[110],s,i,t,p;

	while(cin>>n)

	{

		s=0;

		for(i=0;i<n;i++)

		{

			cin>>a[i];

		}

		sort(a,a+n);

		for(i=0;i<n;i++) if(i==0 || a[i]!=a[i-1])

		{

			t=a[i];p=0;

			while(t)

			{

				if(t%2) p++;

				t/=2;

			}

			if(p%2) s^=2*a[i];

			else s^=2*a[i]+1;

		}

		if(s) cout<<"No"<<endl;

		else cout<<"Yes"<<endl;

	}

	return 0;

}

巴特西

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