[BZOJ2440]完全平方数解题报告|莫比乌斯函数的应用
2024-09-02 14:00:38
完全平方数
小 X 自幼就很喜欢数。但奇怪的是,他十分讨厌完全平方数。他觉得这些数看起来很令人难受。由此,他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。然而这丝毫不影响他对其他数的热爱。
这天是小X的生日,小 W 想送一个数给他作为生日礼物。当然他不能送一个小X讨厌的数。他列出了所有小X不讨厌的数,然后选取了第 K个数送给了小X。小X很开心地收下了。
然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了。你能帮他一下吗?
还记得第一次接触这道题是一年前吧..那时候参加了一场某OJ的比赛
然后并不会做..在discuss里面发现是“BZOJ2440原题”
然后看到了一个叫做莫比乌斯函数的东西...很努力地看但是仍然没看懂...
也奇怪..现在就能看懂了呢...
莫比乌斯函数:
μ(1)=1;
对于每个质因子的次数都为1的数n,假设其能拆分出k个质因子,μ(n)=(-1)^k
其他情况下μ(n)=0
构造方法:
首先容易证明莫比乌斯函数是积性函数
然后用线筛
procedure build;
var m:int64;
i,j:longint;
begin
fillchar(vis,sizeof(vis),true);
prime[]:=;
m:=trunc(sqrt(INF));mu[]:=;
for i:= to m do
begin
if vis[i] then
begin
inc(prime[]);
prime[prime[]]:=i;
mu[i]:=-;
end;
for j:= to prime[] do
begin
if i*prime[j]>m then break;
vis[i*prime[j]]:=false;
if i mod prime[j]= then
begin
mu[prime[j]*i]:=;
break;
end;
mu[prime[j]*i]:=-mu[i];
end;
end;
end;
对于这道题,很容易想到二分答案+容斥
然后发现由偶数个次数为一的质数乘起来的完全平方因子,对答案的贡献是正的,奇数个是负的
这个就可以用莫比乌斯函数来替代
program bzoj2440;
const INF = ;maxn = ;
var test,L,R,ans,k,mid:int64;
tt:longint;
prime,mu:array[-..maxn]of int64;
vis:array[-..maxn]of boolean; procedure build;
var m:int64;
i,j:longint;
begin
fillchar(vis,sizeof(vis),true);
prime[]:=;
m:=trunc(sqrt(INF));mu[]:=;
for i:= to m do
begin
if vis[i] then
begin
inc(prime[]);
prime[prime[]]:=i;
mu[i]:=-;
end;
for j:= to prime[] do
begin
if i*prime[j]>m then break;
vis[i*prime[j]]:=false;
if i mod prime[j]= then
begin
mu[prime[j]*i]:=;
break;
end;
mu[prime[j]*i]:=-mu[i];
end;
end;
end; function solve(x:int64):int64;
var sum:int64;
i:longint;
begin
sum:=;
for i:= to trunc(sqrt(x)) do
inc(sum,(x div (int64(i)*i))*mu[i]); exit(sum);
end; begin
assign(input,'bzoj2440.in');reset(input);
readln(test);
build;
for tt:= to test do
begin
readln(k);
L:=;R:=INF;ans:=-;
while L<=R do
begin
mid:=(L+R) >> ;
if solve(mid)>=k then
begin
ans:=mid;R:=mid-;
end else L:=mid+;
end;
writeln(ans);
end;
end.
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