HDU3987 Harry Potter and the Forbidden Forest（边数最少的最小割）
2024-10-20 07:53:31
方法1：两遍最大流。一遍最大流后，把满流边容量+1，非满流边改为INF；再求最小割即为答案。
我大概想了下证明：能构成最小割的边在第一次跑最大流时都满流，然后按那样改变边容量再求一次最小割，就相当于再在那些 满流可能是属于最小割的边 中挑出最少的边形成ST割。
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define INF (1LL<<60)
#define MAXN 1111
#define MAXM 440000 struct Edge{
int v,next;
__int64 cap,flow;
}edge[MAXM];
int vs,vt,NE,NV;
int head[MAXN]; void addEdge(int u,int v,__int64 cap){
edge[NE].v=v; edge[NE].cap=cap; edge[NE].flow=;
edge[NE].next=head[u]; head[u]=NE++;
edge[NE].v=u; edge[NE].cap=; edge[NE].flow=;
edge[NE].next=head[v]; head[v]=NE++;
} int level[MAXN];
int gap[MAXN];
void bfs(){
memset(level,-,sizeof(level));
memset(gap,,sizeof(gap));
level[vt]=;
gap[level[vt]]++;
queue<int> que;
que.push(vt);
while(!que.empty()){
int u=que.front(); que.pop();
for(int i=head[u]; i!=-; i=edge[i].next){
int v=edge[i].v;
if(level[v]!=-) continue;
level[v]=level[u]+;
gap[level[v]]++;
que.push(v);
}
}
} int pre[MAXN];
int cur[MAXN];
__int64 ISAP(){
bfs();
memset(pre,-,sizeof(pre));
memcpy(cur,head,sizeof(head));
int u=pre[vs]=vs;
__int64 flow=,aug=INF;
gap[]=NV;
while(level[vs]<NV){
bool flag=false;
for(int &i=cur[u]; i!=-; i=edge[i].next){
int v=edge[i].v;
if(edge[i].cap!=edge[i].flow && level[u]==level[v]+){
flag=true;
pre[v]=u;
u=v;
//aug=(aug==-1?edge[i].cap:min(aug,edge[i].cap));
aug=min(aug,edge[i].cap-edge[i].flow);
if(v==vt){
flow+=aug;
for(u=pre[v]; v!=vs; v=u,u=pre[u]){
edge[cur[u]].flow+=aug;
edge[cur[u]^].flow-=aug;
}
//aug=-1;
aug=INF;
}
break;
}
}
if(flag) continue;
int minlevel=NV;
for(int i=head[u]; i!=-; i=edge[i].next){
int v=edge[i].v;
if(edge[i].cap!=edge[i].flow && level[v]<minlevel){
minlevel=level[v];
cur[u]=i;
}
}
if(--gap[level[u]]==) break;
level[u]=minlevel+;
gap[level[u]]++;
u=pre[u];
}
return flow;
}
int main(){
int t,n,m,a,b,c,d;
scanf("%d",&t);
for(int cse=; cse<=t; ++cse){
scanf("%d%d",&n,&m);
vs=; vt=n-; NV=n; NE=;
memset(head,-,sizeof(head));
while(m--){
scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d);
if(d){
addEdge(a,b,c);
addEdge(b,a,c);
}else{
addEdge(a,b,c);
}
}
ISAP();
for(int i=; i<NE; i+=){
if(edge[i].flow==edge[i].cap) ++edge[i].cap;
else edge[i].cap=INF;
}
printf("Case %d: %I64d\n",cse,ISAP());
}
return ;
}
方法2：放大边权。把每条边的容量cap改为cap*m+1，m为一个够大的数（总边数+1就够了）。最后跑一遍最大流，最小割为maxflow/m，最少边数为maxflow%m。
我大概想了下证明：原图流量能满的，新图流量肯定也能达到cap*m，因为可以把新图看成是m张原图。而流量达到cap*m的边还剩1这个容量还没用到（流量达不到cap*m自然就用不到这个1容量了），那么就相当于在这些边的基础上再跑一遍最大流，与方法1差不多的道理。
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define INF (1LL<<60)
#define MAXN 1111
#define MAXM 440000 struct Edge{
int v,next;
__int64 cap,flow;
}edge[MAXM];
int vs,vt,NE,NV;
int head[MAXN]; void addEdge(int u,int v,__int64 cap){
edge[NE].v=v; edge[NE].cap=cap; edge[NE].flow=;
edge[NE].next=head[u]; head[u]=NE++;
edge[NE].v=u; edge[NE].cap=; edge[NE].flow=;
edge[NE].next=head[v]; head[v]=NE++;
} int level[MAXN];
int gap[MAXN];
void bfs(){
memset(level,-,sizeof(level));
memset(gap,,sizeof(gap));
level[vt]=;
gap[level[vt]]++;
queue<int> que;
que.push(vt);
while(!que.empty()){
int u=que.front(); que.pop();
for(int i=head[u]; i!=-; i=edge[i].next){
int v=edge[i].v;
if(level[v]!=-) continue;
level[v]=level[u]+;
gap[level[v]]++;
que.push(v);
}
}
} int pre[MAXN];
int cur[MAXN];
__int64 ISAP(){
bfs();
memset(pre,-,sizeof(pre));
memcpy(cur,head,sizeof(head));
int u=pre[vs]=vs;
__int64 flow=,aug=INF;
gap[]=NV;
while(level[vs]<NV){
bool flag=false;
for(int &i=cur[u]; i!=-; i=edge[i].next){
int v=edge[i].v;
if(edge[i].cap!=edge[i].flow && level[u]==level[v]+){
flag=true;
pre[v]=u;
u=v;
//aug=(aug==-1?edge[i].cap:min(aug,edge[i].cap));
aug=min(aug,edge[i].cap-edge[i].flow);
if(v==vt){
flow+=aug;
for(u=pre[v]; v!=vs; v=u,u=pre[u]){
edge[cur[u]].flow+=aug;
edge[cur[u]^].flow-=aug;
}
//aug=-1;
aug=INF;
}
break;
}
}
if(flag) continue;
int minlevel=NV;
for(int i=head[u]; i!=-; i=edge[i].next){
int v=edge[i].v;
if(edge[i].cap!=edge[i].flow && level[v]<minlevel){
minlevel=level[v];
cur[u]=i;
}
}
if(--gap[level[u]]==) break;
level[u]=minlevel+;
gap[level[u]]++;
u=pre[u];
}
return flow;
}
int main(){
int t,n,m,a,b,c,d;
scanf("%d",&t);
for(int cse=; cse<=t; ++cse){
scanf("%d%d",&n,&m);
vs=; vt=n-; NV=n; NE=;
memset(head,-,sizeof(head));
__int64 x=m<<|;
while(m--){
scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d);
if(d){
addEdge(a,b,c*x+);
addEdge(b,a,c*x+);
}else{
addEdge(a,b,c*x+);
}
}
printf("Case %d: %I64d\n",cse,ISAP()%x);
}
return ;
}
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