SPOJ839 Optimal Marks（最小割）

题目大概说给一张图，每个点都有权，边的权等于其两端点权的异或和，现已知几个点的权，为了使所有边的边权和最小，其他点的权值该是多少。

很有意思的一道题，完全看不出和网络流有什么关系。

考虑每个未知的点$x$的权的二进制的第$i$位$x_i$，其对边权和的贡献为$\sum_{(x,y)\in E}(2^i\cdot(x_i\ \hat{}\ y_i))=2^i\sum_{(x,y)\in E}(x_i\ \hat{}\ y_i)$，而$x_i$取值是$0$或$1$！

这样问题就明了了：

相当于对于每个点中的每一位让它们取0或1
对于未知的取0或1花费都为0
对于已知的是0或1，那么对应取0或1的花费也是0，而取1或0的花费是INF
对于边其两端点如果取值不同则需要额外$2^i$的花费

这样这就是一个经典的二者选其一花费最小的最小割模型了！

另外不需要每个点都拆成最多二进制位数个数的点，这样容量网络的点上万个——因为各个位是独立的，所以可以分开求，即跑二进制位数个数次的网络流。

最后求答案，只需从源点floodfill找到S集合有哪几个点就知道所有点的各个位的取值了。

 #include<cstdio>

 #include<cstring>

 #include<queue>

 #include<algorithm>

 using namespace std;

 #define INF (1<<30)

 #define MAXN 555

 #define MAXM 555*555*2

 struct Edge{

     int v,cap,flow,next;

 }edge[MAXM];

 int vs,vt,NE,NV;

 int head[MAXN];

 void addEdge(int u,int v,int cap){

     edge[NE].v=v; edge[NE].cap=cap; edge[NE].flow=;

     edge[NE].next=head[u]; head[u]=NE++;

     edge[NE].v=u; edge[NE].cap=; edge[NE].flow=;

     edge[NE].next=head[v]; head[v]=NE++;

 }

 int level[MAXN];

 int gap[MAXN];

 void bfs(){

     memset(level,-,sizeof(level));

     memset(gap,,sizeof(gap));

     level[vt]=;

     gap[level[vt]]++;

     queue<int> que;

     que.push(vt);

     while(!que.empty()){

         int u=que.front(); que.pop();

         for(int i=head[u]; i!=-; i=edge[i].next){

             int v=edge[i].v;

             if(level[v]!=-) continue;

             level[v]=level[u]+;

             gap[level[v]]++;

             que.push(v);

         }

     }

 }

 int pre[MAXN];

 int cur[MAXN];

 int ISAP(){

     bfs();

     memset(pre,-,sizeof(pre));

     memcpy(cur,head,sizeof(head));

     int u=pre[vs]=vs,flow=,aug=INF;

     gap[]=NV;

     while(level[vs]<NV){

         bool flag=false;

         for(int &i=cur[u]; i!=-; i=edge[i].next){

             int v=edge[i].v;

             if(edge[i].cap!=edge[i].flow && level[u]==level[v]+){

                 flag=true;

                 pre[v]=u;

                 u=v;

                 //aug=(aug==-1?edge[i].cap:min(aug,edge[i].cap));

                 aug=min(aug,edge[i].cap-edge[i].flow);

                 if(v==vt){

                     flow+=aug;

                     for(u=pre[v]; v!=vs; v=u,u=pre[u]){

                         edge[cur[u]].flow+=aug;

                         edge[cur[u]^].flow-=aug;

                     }

                     //aug=-1;

                     aug=INF;

                 }

                 break;

             }

         }

         if(flag) continue;

         int minlevel=NV;

         for(int i=head[u]; i!=-; i=edge[i].next){

             int v=edge[i].v;

             if(edge[i].cap!=edge[i].flow && level[v]<minlevel){

                 minlevel=level[v];

                 cur[u]=i;

             }

         }

         if(--gap[level[u]]==) break;

         level[u]=minlevel+;

         gap[level[u]]++;

         u=pre[u];

     }

     return flow;

 }

 int x[],y[],u[],p[];

 int ans[];

 bool vis[];

 void dfs(int u){

     vis[u]=;

     for(int i=head[u]; i!=-; i=edge[i].next){

         int v=edge[i].v;

         if(vis[v] || edge[i].cap==edge[i].flow) continue;

         dfs(v);

     }

 }

 int main(){

     int t,n,m,a,b,k;

     scanf("%d",&t);

     while(t--){

         scanf("%d%d",&n,&m);

         for(int i=; i<m; ++i){

             scanf("%d%d",x+i,y+i);

         }

         scanf("%d",&k);

         for(int i=; i<k; ++i){

             scanf("%d%d",u+i,p+i);

         }

         memset(ans,,sizeof(ans));

         for(int i=; i<; ++i){

             vs=; vt=n+; NV=vt+; NE=;

             memset(head,-,sizeof(head));

             for(int j=; j<m; ++j){

                 addEdge(x[j],y[j],);

                 addEdge(y[j],x[j],);

             }

             for(int j=; j<k; ++j){

                 if((p[j]>>i)&) addEdge(vs,u[j],INF);

                 else addEdge(u[j],vt,INF);

             }

             ISAP();

             memset(vis,,sizeof(vis));

             dfs(vs);

             for(int j=; j<=n; ++j){

                 if(vis[j]) ans[j]+=(<<i);

             }

         }

         for(int i=; i<=n; ++i){

             printf("%d\n",ans[i]);

         }

     }

     return ;

 }

巴特西

SPOJ839 Optimal Marks（最小割）

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