定义

二叉索引树，binary index tree，又名树状数组，或Fenwick Tree，因为本算法由Fenwick创造。

对于数组A，定义Query(i,j) = Ai +Ai+1 + … + Aj.

比较好的做法：使用前缀和，Sum(j) – Sum(i-1)即可得到Query(i,j)

BIT即为解决此类区间查询而大展身手，因为预处理时间为O(n)，之后的查询时间为O(1)，是属于典型的在线算法(关于在线算法，通俗地可以理解为，做一次预处理，提供多次“服务”——比如多次Query(i,j))。

Lowbit(nature)

首先，定位lowbit(natural)为自然数(即1,2,3…n)的二进制形式中最右边出现1的值。

比如：4 = 100，lowbit(4) = 4；36 = 100100，lowbit(36) = 4.

自然数在二进制形式下，有如下的性质：

Lowbit为1的自然数为1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31…d = 2

Lowbit为2的自然数为2,6,10,14,18,22,26,30,… d = 4

Lowbit为3的自然数为4,12,20,28… d=8

Lowbit为4的自然数为8,32

直接上刘汝佳的算法竞赛入门竞赛经典中的图片：

树状性质：对于节点i,如果他是左子结点，那么父节点的编号就是i+lowbit(i)；如果它是右子节点，那么父节点的编号是i-lowbit(i)。

令数组C为：

Ci = A_{i-lowbit(i)+1}+A_{i-lowbit(i)+2}+…A_i

即从最左边的孩子，到自身的和，如C12 = A9(上图中最左边的儿子)+A10+A11+A12，C6=A5+A6。

计算前缀和Sum(i)的计算：

顺着节点i往左走，边走边“往上爬”，把经过的Ci 累加起来即可。

API

l lowbit(idx)

求A[idx]的低位

l Sum(i)

求区间1，i的前缀和

l Add(idx,value)

使节点idx的值增加value；

代码：

using System;

using System.Collections.Generic;

using System.Linq;

using System.Text;

using System.Threading.Tasks;

namespace Algorithms.Data_Structure

{

    /// <summary>

    /// 二叉索引树（树状数组：Fenwick Tree）

    /// </summary>

    public class BinaryIndexedTree

    {

        /// <summary>

        /// 处理的数组

        /// </summary>

        private List<int> array;

        /// <summary>

        /// 二叉前缀和

        /// </summary>

        private List<int> tree;

        /// <summary>

        /// 个数

        /// </summary>

        private int n;

        public BinaryIndexedTree(int[] array)

        {

            this.array = new List<int>(array);

            this.n = this.array.Count;

            PreProcessing();

        }

        /// <summary>

        /// 预处理函数：每次增加数值

        /// </summary>

        private void PreProcessing()

        {

            tree = new List<int>(n);

            for (int ii = 0; ii < n; ii++)

            {

                tree.Add(0);

            }

            for (int ii = 1; ii < n; ii++)

            {

                Update(ii, array[ii]);

            }

        }

        /// <summary>

        /// 二进制形式中的最右边的1所对应的值，如38288 = 1001010110010000 ，则返回16

        /// </summary>

        /// <param name="idx"></param>

        private int lowbit(int idx)

        {

            return idx & (-idx);

        }

        /// <summary>

        /// 在x处加v

        /// </summary>

        /// <param name="idx">数组的索引，从1开始计数</param>

        /// <param name="v">值</param>

        public void Update(int idx, int v)

        {

            while (idx < n)

            {

                tree[idx] += v;

                idx += lowbit(idx); //left's parent

            }

        }

        /// <summary>

        /// 从0到x求和

        /// </summary>

        /// <param name="idx">索引，从1开始计数</param>

        /// <returns>求和结果</returns>

        public int Sum(int idx)

        {

            int ret = 0;

            while (idx > 0)

            {

                ret += tree[idx];

                idx -= lowbit(idx); // right's parent

            }

            return ret;

        }

    }

}

Test:

class Program

{

    static void Main(string[] args)

    {

        BinaryIndexedTree bit = new BinaryIndexedTree(new int[] { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }); //从1开始计数

        Console.WriteLine(bit.Sum(5));//15

        bit.Update(4, 23);

        Console.WriteLine(bit.Sum(5));//38

    }

}

巴特西

二叉索引树BIT

定义

Lowbit(nature)

API

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