最长上升子序列(LIS)模板

最长递增(上升)子序列问题：在一列数中寻找一些数，这些数满足：任意两个数a[i]和a[j]，若i<j，必有a[i]<a[j]，这样最长的子序列称为最长递增(上升)子序列。

考虑两个数a[x]和a[y]，x>y且a[x]<a[y],且dp[x]=dp[y]，当a[t]要选择时，到底取哪一个构成最优的呢？显然选取a[x]更有潜力，因为可能存在a[x]<a[z]<a[y]，这样a[t]可以获得更优的值。在这里给我们一个启示，当dp[x]一样时，尽量选择更小的a[x].

按dp[t]=k来分类，只需保留dp[t]=k的所有a[t]中的最小值，设d[k]记录这个值，d[k]=min{a[t](dp[t]=k)}。

这时注意到d的两个特点（重要）：

1. d[k]在计算过程中单调不升；

2. d数组是有序的，d[1]<d[2]<..d[n]。

利用这两个性质，可以很方便的求解：

1. 设当前已求出的最长上升子序列的长度为len（初始时为1），每次读入一个新元素x：

2. 若x>d[len]，则直接加入到d的末尾，且len++；（利用性质2）

否则，在d中二分查找，找到第一个比x小的数d[k]，并d[k+1]=x，在这里x<=d[k+1]一定成立（性质1,2）。

#include<stdio.h>

#include<string.h>

const int N=;

int d[N];

int bs(int a[],int l,int r,int key)

{

    while(l<r)

    {

        int mid=((l+r)&)+(l+r)>>;

        if(a[mid]<key)

            l=mid;

        else

            r=mid-;

    }

    if(a[l]>=key)   return l-;

    return l;

}

int LIS(int a[],int n)

{

    int i,tmp,len=;

    d[]=a[];

    for(i=;i<=n;i++)

    {

        if(d[len]<a[i])

            tmp=++len;

        else

            tmp=bs(d,,len,a[i])+;

        d[tmp]=a[i];

    }

    return len;

}

int main()

{

    int a[]={-,,,,,,};

    int tmp=LIS(a,);

    printf("%d\n",tmp);

    for(int i=;i<=tmp;i++)

        printf("%d ",d[i]);

    printf("\n");

    return ;

}

LIS

这种算法的时间复杂度是O(nlogn),但是稍微难写了一点。下面的是O(n^2)，容易编写。

 int LIS(int *a,int n)

 {

     int i,j,ans=-;

     memset(dp,,sizeof(dp));dp[]=;

     for(i=;i<=n;i++)

     {

         for(j=;j<i;j++)

         {

             if(a[i]>a[j])

             {

                 if(dp[j]+>dp[i])

                     dp[i]=dp[j]+;

             }

         }

     }

     for(int i=;i<=n;i++)

         if(dp[i]>ans)

             ans=dp[i];

     return ans;

 }

参考文章：http://www.cppblog.com/mysileng/archive/2012/11/30/195841.html

巴特西

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